ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 12
(Thời gian làm bài 180’)

Câu 1: Chứng minh rằng hàm số y = x4- 6x2 + 4x + 6 luôn luôn có 3 cực trị đồng thời gốc toạ độ O là trọng tâm của các tam giác tạo bởi 3 đỉnh và 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Câu 2: Giải hệ phương trình.
x+y =

y + z =

z + x =

Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc oxy cho parabôn (P): y2 = 4x. M là một điểm di động trên (P). M ( 0, T là một điểm trên (P) sao cho T ( 0, OT vuông góc với OM.
a. Chứng minh rằng khi M di động trên (P) thì đường thẳng MT luôn đi qua một điểm cố định.
b. Chứng minh rằng khi M di động trên (P) thì thì trung điểm I của MT chạy trên 1 pa ra bol cố định .
Câu 4: Giải phương trình sau:
sinx + siny + sin (x+y) =

Câu 5: Cho dãy số In =
, n(N*
Tính
In
Câu 6: Cho 1 ( a > 0, chứng minh rằng.

<


ĐÁP ÁN
Câu 1: (3 điểm )
Tập xác định: D = R y = x4 - 6x2 + 4x + 6.
y’ = 4x3 - 12x + 4 y’ = 0 <=> g(x) = x3 - 3x + 1 = 0 (1)
Ta có g(x), liên tục g(-2) = -1, g(-1) = 3, g(1) = -1 , g(2) = 3


g(x) liên tục nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn :
- 2 < x1 < -1 < x2 < 1 < x3 < 2
* Ta có y =
y’.x- 3.(x2 - x - 2) (1)
Gọi các điểm cực trị là A (x1,y1), B(x2,y2), C (x3,y3) và G (x0,y0) là trọng tâm tam giác ABC.
Theo ĐL Viet có x1 + x2 + x3 = 0 (2)
x1x2 + x2x3 = x3x1 = -3 (3)
Từ (2) suy ra x0 =
= 0
Từ (1) (2) (3) suy ra:
y0 =
(y1+y2+y3) = -3 ((
)-(x1+x2+x3) - 6(
= -3 ((x1 + x2 + x3)2 - 2 (x1x2 + x2x3 + x3x1) - 6( = -3 (0 - 2 (-3) - 6) = 0
Vậy G (0;0) ( 0(0;0) (ĐPCM)
Câu 2: ( 2 điểm)
x+y =
(1)
y + z =
(2) (I) đk x,y,z >

z + x =
(3)
áp dụng bất đẳng thức cosi tacó:

<
= 2z (1’)
Tương tự
< 2x (2’)
< 2y (3’)
Từ (1’) ;(2’) ; (3’) và (1) ; (2) ; (3) suy ra.
2(x+y+z) =
< 2z + 2x + 2y (4)
Từ (4) suy ra:
4z - 1 = 1
(I) <=> 4x - 1 = 1 <=> x = y = z =
nghiệm đúng (I)
4y - 1 = 1
Vậy hệ (I) có nghiệm x = y = z =

Câu 3: (P): y2 = 4x
a. (3điểm ) Giả sử
;
với y1,y2 ( 0; y1 ( y2.
OT(OM (

( y1 . y2 + 16 = 0 (1)
Phương trình đường thẳng MT:

( 4x -
= (y1 + y2). (y-y1)
( 4x - (y1 + y2) y - 16 = 0 ( 4(x- 4)- (y1 + y2) y= 0
Nên đường thẳng MT luôn đi qua điểm cố định J (4;0)
b. (3điểm) Gọi I (x0, y0) là trung điểm MT thì
x0 =
(1)
y0 =
(2)
Từ (1) suy ra x0 =
((y1+y2)2 - 2y1y2( =
((2y0)2 - 2