Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I - LÝ THUYẾT:
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
Vectơ
là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng
nếu giá của
vectơ
song song hoặc trùng với đường thẳng
.
2. Phương trình tham số - Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Đường thẳng
đi qua
và có 1 vectơ chỉ phương

+ Phương trình tham số của đường thẳng
là:
(1)
+ Phương trình chính tắc của đường thẳng
là:

(2)

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng
và

Đường thẳng
có 1 vectơ chỉ phương
.
Đường thẳng
có 1 vectơ chỉ phương
.
Cách 1: Xét vị trí tương đối của
và
theo chương trình cơ bản:
Bước 1: Kiểm tra tính cùng phương của
và
.
Bước 2: Nhận xét:
+ Nếu
và
cùng phương thì:

+ Nếu
và
không cùng phương thì hoặc
cắt
hoặc
và
chéo nhau.
TH1:
cắt

Điều kiện 1:
và
không cùng phương .
Điều kiện 2: Giải hệ phương trình:
.
. (*) có nghiệm duy nhất
.
Kết luận:
cắt
tại điểm
.
Lưu ý: Giải hệ (*) bằng cách: Từ (1) và (2) giải ra
và thay vào (3) (Nếu (3) thoả thì
, ngược lại thì không).
TH2:
và
chéo nhau
Điều kiện 1:
và
không cùng phương .
Điều kiện 2: Giải hệ phương trình:

(*) vô nghiệm.
TH3:
song song với

Điều kiện 1:
và
cùng phương .
Điều kiện 2: Chọn điểm
. Cần chỉ rõ
.
TH4:
và
trùng nhau
Điều kiện 1:
và
trùng nhau.
Điều kiện 2: Chọn điểm
. Cần chỉ rõ
.
Đặc biệt:

Cách 2: Xét vị trí tương đối của
và
chương trình nâng cao theo sơ đồ sau:
Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương

Đường thẳng d’ có 1 vectơ chỉ phương
















II- BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA:
LOẠI 1: XÁC ĐỊNH VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
+ Vectơ
là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng
nếu giá của vectơ
song song hoặc trùng với đường thẳng
.
+ Nếu
là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng
thì
cũng là 1 vectơ chỉ phương của
.
+ Gọi
là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng
. Nếu có 2 vectơ
không cùng phương và
thì chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng
là
hoặc
.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
; các đường thẳng
,
; các mặt phẳng
,
. Tìm một vectơ chỉ phương của các đường thẳng sau:
a) Đường thẳng
.
b) Đường thẳng
đi qua
và song song với
.
c) Đường thẳng
.
d) Đường thẳng
qua B và song song với
.
e) Đường thẳng
qua
và vuông góc với
.
f) Đường thẳng
qua
, vuông góc với
và
.
g) Đường thẳng
qua
và vuông góc với
.
h) Đường thẳng
là giao tuyến của hai mặt phẳng
.
i) Đường thẳng
qua
vuông góc với
và song song với mặt phẳng
.
j) Đường thẳng
qua
, cắt và vuông góc với trục
.
Bài giải:
a) Đường thẳng
có 1 vectơ chỉ phương là
.
b) Đường thẳng
có 1 vectơ chỉ phương là
. Ta có:
nên
cũng là 1 vectơ chỉ phương của
.
c) Đường thẳng
có 1 vectơ chỉ phương là
.
d) Đường thẳng
nên có 1 vectơ chỉ phương là
.
e) Mặt phẳng
có 1 vectơ pháp tuyến là
. Đường thẳng
nên có 1 vectơ chỉ phương là
.
f) Gọi
là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
Ta có:
,
chọn
.
g) Mặt phẳng
có 1 vectơ pháp tuyến là
. Gọi
là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng
. Ta có:
,
chọn
.
h) Gọi
là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng
. Ta có:
,

chọn
.
i) Gọi
là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng
. Mặt phẳng
có 1 vectơ pháp tuyến là
.Ta có:
,
chọn
.
j) Gọi
. Ta có
là hình chiếu của
lên
. Vậy
có 1 vectơ chỉ